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ロドリゲスの回転公式（軸角法）

#数学#图形学426
AI 翻訳
この記事はAIを通じて英語から日本語に翻訳されました。原文を表示
AI が生成した要約
"本文介绍了向量点积和叉积的基本知识，以及罗德里格旋转公式的推导过程。需要理解右手系和旋转方向的判断。"

序文#

この記事を読むには、ベクトルの内積と外積の基本的な知識を理解する必要があります。以下に、大まかな定義を示します（ここでは行列は使用しないため、行列形式は省略します）。

  • ベクトルの内積
    • v⃗⋅j⃗=∣∣v⃗∣∣∣∣j⃗∣∣cos⁡θ\vec {v} \cdot \vec {j} = ||\vec {v}|| ||\vec {j}|| \cos \theta
    • 幾何学的には、ベクトル v をベクトル j に射影した長さにベクトル j の長さを掛けたものです。
  • ベクトルの外積
    • v⃗×j⃗=∣∣v⃗∣∣∣∣j⃗∣∣sin⁡θ\vec {v} \times \vec {j} = ||\vec {v}|| ||\vec {j}|| \sin \theta
    • 外積は 3 次元空間でのみ幾何学的な意味を持ち、ベクトル v とベクトル j に直交するベクトルで、その大きさはベクトル v とベクトル j で作られる平行四辺形の面積です。

また、注意する必要があるのは、この記事は右手系に基づいていることで、回転方向の正負は右手の法則で判断できることです。

右手系 右手の法則

ロドリゲスの回転公式#

回転軸 f⃗\vec{f} が与えられた場合、ベクトル v⃗\vec{v} を回転軸周りに θ\theta 角回転させた後のベクトル v′⃗\vec {v^{\prime}} を求めます。以下の図を参照してください。

IMG_ECC68942A572-1

回転軸の長さは回転に影響を与えないため、解を簡単にするために ∣∣f⃗∣∣=1||\vec {f}|| = 1 と定義します。この時、ベクトル v⃗\vec {v} を平面（ v∥⃗\vec {v_\parallel} ）と回転軸（ v⊥⃗\vec {v_\perp} ）に分解します。以下の図を参照してください。

IMG_D190DB86E9D2-1

v∥⃗\vec{v_\parallel} は v⃗\vec{v} を f⃗\vec{f} 上に射影したものと見なすことができます。明らかに内積を使用して表すことができます。

すなわち、v∥⃗=v⃗⋅f⃗∣∣f⃗∣∣f⃗∣∣f⃗∣∣\vec {v_\parallel} = \frac{\vec {v} \cdot \vec {f}}{||\vec {f}||} \frac {\vec {f}}{||\vec {f}||}

ここでなぜこのように書くのか説明します。上記の内積の説明は非常に明確であり、内積の結果はベクトル v をベクトル f に射影した長さにベクトル f の長さを掛けたものです。つまり、∣∣v∥⃗∣∣|| \vec {v_\parallel} || を単独で取得する場合、結果を ∣∣f⃗∣∣||\vec {f}|| で割る必要があります。また、この時得られるのはベクトルではなく値であり、v∥⃗∥f⃗\vec {v_\parallel} \parallel \vec {f} すなわち、2 つは同じ方向を向いているため、値に f⃗\vec {f} を掛けることで v∥⃗\vec {v_\parallel} を得ることができます。また、∣∣f⃗∣∣||\vec {f}|| は 1 であるため、次のように簡略化できます。

v∥⃗=(v⃗⋅f⃗)f⃗\vec {v_\parallel} = (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f}

この時、v⊥⃗\vec {v_\perp} も得ることができます。

v⊥⃗=v⃗−v∥⃗=v⃗−(v⃗⋅f⃗)f⃗\vec {v_\perp} = \vec {v} - \vec {v_\parallel} = \vec {v} - (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f}

現在、次の結果が得られました。

{v∥⃗=(v⃗⋅f⃗)f⃗v⊥⃗=v⃗−(v⃗⋅f⃗)f⃗\begin{cases} \vec {v_\parallel} = (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f} \\ \vec {v_\perp} = \vec {v} - (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f} \end{cases}

次に、v′⃗\vec {v^{\prime}} を分解します。v∥⃗=v∥′⃗\vec {v_\parallel} = \vec {v^{\prime}_\parallel} であることに気づきますが、平面上の分解が異なる点です。

IMG_8ADF34270E8C-1

この時、補助ベクトル w⃗\vec {w} を導入します。このベクトルは v⊥⃗\vec {v_\perp} に垂直です。

∵{w⃗⊥f⃗w⃗⊥v⊥⃗∣∣f⃗∣∣=1∣∣w⃗∣∣=∣∣v⊥⃗∣∣\because \begin{cases} \vec {w} \perp \vec {f} \\ \vec {w} \perp \vec {v_\perp} \\ || \vec {f} || = 1 \\ || \vec {w} || = || \vec {v_\perp} || \\ \end{cases}
∴w⃗=f⃗×v⊥⃗\therefore \vec {w} = \vec {f} \times \vec {v_\perp}

最終的な目標は、v⊥′⃗\vec {v^{\prime}_\perp} を使用して v′⃗\vec {v^{\prime}} を求めることです。そのためには、v⊥′⃗\vec {v^{\prime}_\perp} を v1⃗\vec {v_1} と v2⃗\vec {v_2} に分解し、既知の w⃗\vec {w} と v⊥⃗\vec {v_\perp} を使用して表現する必要があります（解決策は、v∥⃗\vec {v_\parallel} の場合と同じです）。

v1⃗=v⊥′⃗⋅w⃗∣∣w⃗∣∣w⃗∣∣w⃗∣∣=∣∣v⊥′⃗∣∣∣∣w⃗∣∣cos⁡(90°−θ)∣∣w⃗∣∣w⃗∣∣w⃗∣∣=w⃗sin⁡θ\vec {v_1} = \frac {\vec {v^{\prime}_\perp} \cdot \vec {w}}{||\vec {w}||} \frac {\vec {w}}{||\vec {w}||} = \frac {||\vec {v^{\prime}_\perp}|| || \vec {w} || \cos(90° - \theta)}{|| \vec {w} ||} \frac {\vec {w}}{||\vec {w}||} = \vec {w} \sin\theta

v2⃗=v⊥′⃗⋅v⊥⃗∣∣v⊥⃗∣∣v⊥⃗∣∣v⊥⃗∣∣=∣∣v⊥′⃗∣∣∣∣v⊥⃗∣∣cos⁡(θ)∣∣v⊥⃗∣∣v⊥⃗∣∣v⊥⃗∣∣=v⊥⃗cos⁡θ\vec {v_2} = \frac {\vec {v^{\prime}_\perp} \cdot \vec {v_\perp}}{||\vec {v_\perp}||} \frac {\vec {v_\perp}}{||\vec {v_\perp}||} = \frac {||\vec {v^{\prime}_\perp}|| || \vec {v_\perp} || \cos(\theta)}{|| \vec {v_\perp} ||} \frac {\vec {v_\perp}}{||\vec {v_\perp}||} = \vec {v_\perp} \cos\theta

v⊥′⃗=v1⃗+v2⃗=w⃗sin⁡θ+v⊥⃗cos⁡θ\vec {v^{\prime}_\perp} = \vec {v_1} + \vec {v_2} = \vec {w} \sin\theta + \vec {v_\perp} \cos\theta

∵w⃗=f⃗×v⊥⃗\because \vec {w} = \vec {f} \times \vec {v_\perp}

∴v⊥′⃗=v⊥⃗cos⁡θ+(f⃗×v⊥⃗)sin⁡θ\therefore \vec {v^{\prime}_\perp} = \vec {v_\perp} \cos\theta + (\vec {f} \times \vec {v_\perp}) \sin \theta

v′⃗=v⊥′⃗+v∥′⃗=v⊥⃗cos⁡θ+(f⃗×(v⃗−v∥⃗))sin⁡θ+v∥⃗\vec {v^{\prime}} = \vec {v^{\prime}_\perp} + \vec {v^{\prime}_\parallel} = \vec {v_\perp} \cos\theta + (\vec {f} \times (\vec {v} - \vec {v_\parallel})) \sin \theta + \vec {v_\parallel}

∵f⃗∥v∥⃗∴f⃗×v∥⃗=0\because \vec {f} \parallel \vec {v_\parallel} \therefore \vec {f} \times \vec {v_\parallel} = 0

v′⃗=v∥⃗+cos⁡θv⊥⃗+(f⃗×v⃗)sin⁡θ\vec {v^{\prime}} = \vec {v_\parallel} + \cos \theta \vec {v_\perp} + (\vec {f} \times \vec {v}) \sin \theta

∵{v∥⃗=(v⃗⋅f⃗)f⃗v⊥⃗=v⃗−(v⃗⋅f⃗)f⃗\because \begin{cases} \vec {v_\parallel} = (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f} \\ \vec {v_\perp} = \vec {v} - (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f} \end{cases}

∴v′⃗=(1−cos⁡θ)(f⃗⋅v⃗)f⃗+cos⁡θv⃗+sin⁡θ(f⃗×v⃗) \therefore \vec {v^{\prime}} = (1 - \cos \theta)(\vec {f} \cdot \vec {v}) \vec {f} + \cos \theta \vec {v} + \sin \theta (\vec {f} \times \vec {v})

証明終了、これで軸角度の回転公式が得られました。

参考資料#

《動手学機械人學》（5）（一般形式旋轉矩陣公式）或（羅德里格旋轉公式）或（軸角法）證明 and 齊次座標變換

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